Exercícios sobre função linear

(UEMT) Para que os pontos (1; 3) e (3, -1) pertençam ao gráfico da função dada por $\,f(x)\,=\, ax + b\,$, o valor de $\,b - a\,$ deve ser

-3

-7

resposta: (A)
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(ITA) Seja $\,f\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,$ a função definida por $\,f(x)\,=\,ax\,+\,b\,$, onde $\,a \in \mathbb{R}^{\large *} \,$ e $\,b \in \mathbb{R}\,$.
Se $\,\alpha \, \in \mathbb{R}\,$, $\,\beta \, \in \mathbb{R}\,$ e $\,\alpha \neq \beta \,$, demonstre que $\,{\large\frac{f(\alpha) \, - \, f(\beta)}{\alpha \,-\, \beta}}\,=\, a\,$

resposta: Resolução:

$\,f(x)\,=\,ax\,+\,b\,$

$\,f(\alpha)\,=\,a\alpha\,+\,b\,$

$\,f(\beta)\,=\,a\beta\,+\,b\,$

$\,{\large\frac{f(\alpha) \, - \, f(\beta)}{\alpha \,-\, \beta}}\,=\, $

$=\, {\large \frac{a \alpha \,+\,b\,-\,(a\beta\,+\,b)}{(\alpha \,-\, \beta)}}\,=$

$=\,{\large \frac{a\alpha \,+\,b \, - a \beta \, - \, b}{\alpha \, - \, \beta}}\,=$

$=\,{\large \frac{a\alpha \, - \, a\beta}{\alpha \,-\, \beta}}\,$=

$=\,{\large \frac{a(\alpha \,-\, \beta)}{\alpha \,-\, \beta}} \,=\, a\,$

(FUVEST - 1977) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo; cada um destes furos permite uma fazão de 1 litro por minuto. Esboce o gráfico do volume de água no reservatório em função do tempo (em minutos) posterior à realização dos furos. (Despreze o tamanho dos furos.)

resposta:

Resolução: Vamos chamar de $\;V_o$ o volume inicial total do reservatório (totalmente cheio de água).
$\phantom{X}V_o\,=\,\pi\,\centerdot\,10^{\large 2}\,\centerdot\,30\,=\,3000\pi\;cm^{\large 3}\phantom{X}$ ou $\phantom{X}V_o\,=\,3\pi\,$ litros.

Cada furo permite a vazão de 1 litro por minuto, portanto a vazão de 2 furos é de 2 litros em cada minuto negativos.
Volume_total = Volume_inicial + (vazão)●(tempo) $\;\Longrightarrow\;V_t\;=\;3\pi\,-\,2t\;$.
A equação acima vale até o momento em que o furo mais alto seja atingido pelo nível da água, ou seja, conforme a figura, durante a vazão de 2/3 do volume inicial. No instante em que o volume é um terço do inicial, ou seja, $\;V_t\,=\,\dfrac{1}{3}\centerdot 3\pi\,=\,\pi\;$ o furo mais alto deixa de ter vazão. Esse momento ocorre em:
$\phantom{X}-2t\,=\,\pi\,-\,3\pi\;\Rightarrow\;t\;=\;\pi\phantom{X}$
.Então, após $\,\pi\,$ minutos a vazão é 1 litro por minuto, e o volume será V_total = $2\pi\,-\,t\,$
$\left\{ \begin{array}{rcr} V_{total}\,=\,3\pi\,-\,2t\,,&\;\mbox{se}\;t\,\leqslant\,\pi\phantom{XX}\; \\ V_{total}\,=\,2\pi\,-\,t\,,\;\;&\;\mbox{se}\;\pi\,\leqslant\,t\,\leqslant\,2\pi \\ \end{array}\right.$

(UFGO) Diz-se que duas grandezas positivas, $\;x\;$ e $\;y\;$, são diretamente proporcionais quando existe uma função linear $\phantom{X}f(x)\,=\,k\,\centerdot\,x\phantom{X}$, com $\;k\,>\,0\;$ chamada constante de proporcionalidade, tal que $\phantom{X}y\,=\,f(x)\phantom{X}$ para todo $\,x\,>\,0\,$. De modo análogo, diz-se que $\;x\;$ e $\;y\;$ são inversamente proporcionais quando existe uma função $\phantom{X}g(x)\,=\,{\small \dfrac{\;c\;}{x}}\phantom{X}$, com $\,c\,>\,0\,$, tal que $\,y\,=\,g(x)\,$, para todo $\,x\,>\,0\,$. De acordo com essas definições, julgue os itens abaixo como falso (F) ou verdadeiro (V):

a) ()

Se $\,y\,=\,g_1(x)\,$ e $\,z\,=\,g_2(y)\,$ e os pares de grandezas $\phantom{X}x,\,y\phantom{X}$ e $\phantom{X}y,\,z\phantom{X}$ são ambos inversamente proporcionais, então $\,x\,$ e $\,z\,$ são grandezas diretamente proporcionais.

b) ()

Se $\phantom{X}y\,=\,f(x)\phantom{X}$, com $\,x\,$ e $\,y\,$ sendo grandezas diretamente proporcioanis, e $\,w\,=\,g(z)\,$, com $\,z\,$ e $\,w\,$ sendo grandezas inversamente proporcionais, então o quociente $\,{\small \dfrac{\;y\;}{w}}\,$ e o produto $\,x\,\centerdot\,z\,$ formam um par de grandezas diretamente proporcionais.

c) ()

Se $\phantom{X}x_1,\,y_1\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_2,\,y_2\phantom{X}$ são pares de grandezas diretamente proporcionais, com mesma constante de proporcionalidade, então $\phantom{X}x_2y_1\,=\,x_1y_2\phantom{X}$.

d) ()

A área $\,a\,$ e o lado $\,\ell\,$ de um hexágono regular ($\,a\,=\,f(\ell)\,$, para todo $\,\ell\,\gt\,0\,$ ) são grandezas diretamente proporcionais.

resposta: V V V F
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